Questões de Matemática - FUVEST 2001 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 1) A diferena entre dois nmeros inteiros positivos 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminudo em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus clculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois nmeros.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 2) A hipotenusa de um tringulo retngulo est contida na reta r : y = 5x 13 , e um de seus catetos est contido na reta s : y = x 1. Se o vrtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k,5 ) sobre a reta s, determine a) todos os vrtices do tringulo; b) a rea do tringulo.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 3) a) Calcule em funo de e de . b) Calcule em funo de e de . c) Para , resolva a equao: .

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 4) Na figura ao lado, tm-se um cilindro circular reto, onde A e B so os centros das bases e C um ponto da interseco da superfcie lateral com a base inferior do cilindro. Se D o ponto do segmento , cujas distncias a e so ambas iguais a d, obtenha a razo entre o volume do cilindro e sua rea total (rea lateral somada com as reas das bases), em funo de d.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 5) Considere dois nmeros reais e tais que e a) Determine uma relao entre e , para que as equaes polinomiais e possuam uma raiz comum. b) Nesse caso, determine a raiz comum

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 6) No plano complexo, cada ponto representa um nmero complexo. Nesse plano, considere o hexgono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginria, como um de seus vrtices. a) Determine os vrtices do hexgono. b) Determine os coeficientes de um polinmio de grau 6, cujas razes sejam os vrtices do hexgono.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 7) Um agricultor irriga uma de suas plantaes utilizando duas mquinas de irrigao. A primeira irriga uma regio retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma regio compreendida entre duas circunferncias de centro O, e de raios 10 m e 30 m. A posio relativa dessas duas regies dada na figura onde A e B so os pontos mdios das alturas do retngulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O esto alinhados e que BO = 20 , determine a) a rea da interseco das regies irrigadas pelas mquinas; b) a rea total irrigada. Utilize as seguintes aproximaes:

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 8) Um dado, cujas faces esto numeradas de um a seis, dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lanamento. Considere o experimento que consiste em trs lanamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses trs nmeros seja a) par; b) mltiplo de 10.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 9) Dado um nmero real a, considere o seguinte problema: Achar nmeros reais , no todos nulos, que satisfaam o sistema linear: para , onde . a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem soluo? c) Existe, para algum valor de a, uma soluo do problema com ? Se existir, determine tal soluo.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 10) So dados os pontos A e B e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabese que A e B pertencem, respectivamente, s diagonais e de um quadrado CDEF , cujo centro O. A distncia de A a O igual a GH e a medida do lado do quadrado igual a GI. Construa, usando rgua e compasso, um quadrado CDEF , satisfazendo as condies acima. Descreva e justifique as construes utilizadas.

(FUVEST - 2001 - 1a fase) Os vrtices de um tringulo ABC, no plano cartesiano, so: A = (1,0) , B = (0,1), C = (0, ) . Ento, o ngulo BCmede:

(FUVEST - 2001 - 1a fase) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH tm, ambos, lado a e centro O. Se EP = 1, ento a :

(FUVEST - 2001 - 1a fase) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equao (x2+ y2+ 1)(2x + 3y - 1)(3x - 2y + 3) = 0, pode ser representado, graficamente, por:

(FUVEST - 2001 - 1a fase) Considere os seguintes dados, obtidos em 1996 pelo censo do IBGE: A partir dos dados acima, pode-se afirmar que o nmero de pessoas, maiores de 18 anos, filiadas a rgos comunitrios , aproximadamente, em milhes:

(FUVEST - 2001 - 1a fase) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preo de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preo que pagou pela mesma. Se o desconto no fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria: