Questões de Matemática - ITA 2010 | Gabarito e resoluções

Um cilindro reto de altura  está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm3, é igual a

Um tringulo equiltero tem os vrtices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2, 1) e C = (5, 5). Das seguintes afirmaes: I. A se encontra sobre a reta II. A est na interseco da reta com a circunferncia (x 2)2 + (y 1)2 = 25, III. A pertence s circunferncias (x 5)2 + (y 5)2 = 25 e (so) verdadeira(s) apenas

Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M é o ponto médio do segmento  e N é o ponto médio do segmento , então a área do triângulo MND, em cm2, é igual a

(ITA - 2010 - 2 FASE)Sejam ; e conjuntos tais que ;; uma progresso geomtrica de razo r 0: a) Determine n(C): b) Determine

(ITA - 2010 - 2 FASE) A progreso geomtrica infinita (a1; a2, ..., an; ...) tem razo r 0: Sabe-se que a progresso infinita (a1; a6, ..., a5n+1; ...) tem soma 8 e a progesso infinita (a5; a10, ..., a5n; ...) tem soma 2. Determine a soma da progresso infinita (a1; a2, ..., an; ...).

(ITA - 2010 - 2 FASE) Analise se a funo f:, f(x) = bijetora e, em caso afirmativo, determine a funo inversa f-1.

(ITA - 2010 - 2 FASE) Seja f :bijetora impar. Mostre que a funo inversa f-1 :tambm impar.

(ITA - 2010 - 2 FASE)Considere o polinmio ; com coeficientes reais, sendo e .Sabe-se que se r raiz de p, -r tambm raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade das afirmaes: I. Se r1 e r2; ; so razes reais e r3 raiz no real de p, ento r3 imaginrio puro. II. Se r raiz dupla de p; entor real ou imaginrio puro. III. a0 0

(ITA - 2010 - 2 FASE)Uma urna de sorteio contm 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola equiprovvel aretirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o nmero desta bola ser um mltiplo de 5 ou de 6. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem rep-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o nmero da segunda bola retirada no ser um mltiplo de 6.

(ITA - 2010 - 2 FASE)Considere as matrizes a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equao matricial AX = B tenha soluo nica. b) Se ; e ; encontre X tal que AX = B

(ITA - 2010 - 2 fase) Considere a equao a) Determine todas as solues x no intervalo . b)Para as solues encontradas em a), determine cotg x.

(ITA - 2010 - 2 FASE)Determine uma equao da circunferncia inscrita no tringulo cujos vrtices so A = (1; 1); B = (1; 7) e C = (5; 4) no plano xOy.

(ITA - 2010 - 2 FASE) As superfcies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto , em cada ponto da interseco os respectivos planos tangentes so perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem 2 cm e cm; respectivamente, calcule a) a distncia entre os centros das duas esferas. b) rea da superfcie do slido obtido pela interseco das duas esferas.

(ITA - 2010 - 1 FASE) Sobre os elementosda matriz sabe-seque(x1, x2, x3,x4) e(y1, y2, y3,y4) so duas progresses geomtricas de razo 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente, ento, det(A-1) e o elemento (A-1)23valem, respectivamente,

(Ita 2010) A expressãoé igual a