Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) Um determinado cidado recebe um salrio bruto de R$ 2.500,00 por ms, e gasta cerca de R$ 1.800,00 por ms com escola, supermercado, plano de sade, etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa com esse perfil tem seu salrio bruto tributado em 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos produtos e servios que consome. Nesse caso, o percentual total do salrio mensal gasto com tributos de cerca de

(UNICAMP - 2011) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10 camada de ladrilhos cinza contm

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) Quarenta pessoas em excurso pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o nmero de homens do grupo, uma expresso que modela esse problema e permite encontrar tal valor

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual esto identificadas a catedral, a prefeitura e a cmara de vereadores. Observe que o quadriculado no representa os quarteires da cidade, servindo apenas para a localizao dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (no mostrada no mapa) formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da cmara de vereadores. Sabendo que a distncia real entre a catedral e a prefeitura de 500 m, podemos concluir que a distncia real, em linha reta, entre a catedral e a cmara de vereadores de

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual esto identificadas a catedral, a prefeitura e a cmara de vereadores. Observe que o quadriculado no representa os quarteires da cidade, servindo apenas para a localizao dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (no mostrada no mapa) formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da cmara de vereadores. O ponto de interseo das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence regio definida por

(UNICAMP - 2011) Em uma xcara que j contm certa quantidade de acar, despeja-secaf. A curva a seguir representa a funo exponencial M(t), que fornece a quantidade deacar no dissolvido (em gramas), t minutos aps o caf ser despejado. Pelo grfico,podemos concluir que

(UNICAMP - 2010 - 1 FASE) Segundo o IBGE, nos prximos anos, a participao das geraes mais velhas na populao do Brasil aumentar. O grfico ao lado mostra uma estimativa da populao brasileira por faixa etria, entre os anos de 2010 e 2050. Os nmeros apresentados no grfico indicam a populao estimada, em milhes de habitantes, no incio de cada ano. Considere que a populao varia linearmente ao longo de cada dcada. a) Com base nos valores fornecidos no grfico, calcule exatamente em que ano o nmero de habitantes com 60 anos ou mais ir ultrapassar o nmero de habitantes com at 17 anos. (Ateno: no basta encontrar um nmero aproximado a partir do grfico. preciso mostrar as contas.) b) Determine qual ser, em termos percentuais, a variao da populao total do pas entre 2040 e 2050.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 1) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de acar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de acar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispe de 10 kg de acar e 6 kg de farinha, responda s questes abaixo. a) Ser que possvel produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o acar de que dispe?

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 2) Uma pea esfrica de madeira macia foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavao, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esfrica. Sabe-se que uma calota esfrica tem volume, em que a altura da calota e o raio da esfera. Alm disso, a rea da superfcie da calota esfrica (excluindo a poro plana da base) dada por. Ateno: no use um valor aproximado para . a) Supondo que , determine o volume do anel de madeira, em funo de . b) Depois de escavada, a pea de madeira receber uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que , determine a rea sobre a qual o verniz ser aplicado.

(UNICAMP - 2010 - 1 FASE) As mensalidades dos planos de sade so estabelecidas por faixa etria. A tabela ao lado fornece os valores das mensalidades do plano Gerao Sade. Sabendo que o salrio mnimo nacional vale, hoje, R$ 465,00, responda s perguntas abaixo. a) O grfico em formato de pizza ao lado mostra o comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa que recebe 8 salrios mnimos por ms e aderiu ao plano de sade Gerao Sade. Em cada fatia do grfico, esto indicados o item referente ao gasto e o ngulo correspondente, em graus. Determine a que faixa etria pertence essa pessoa. b) O comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa com o plano de sade Gerao Sade varia de acordo com o salrio que ela recebe. Suponha que x seja a quantidade de salrios mnimos recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56 anos, e que C(x) seja a funo que fornece o comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de sade. Note que x no precisa ser um nmero inteiro. Determine a expresso de C(x) para x 1, e trace a curva correspondente a essa funo no grfico abaixo.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 3) Um arteso precisa recortar um retngulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponveis para a obteno dessa tira so mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obteno da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obteno da tira? Justifique

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 4) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que ter que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ngulo de inclinao , tal que . Suponha, tambm, que cada pedalada faa a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura (medida com relao ao ponto de partida) que ser atingida por Laura aps dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura est destacado na figura direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 5) O valor presente, , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, dado pela frmula abaixo, em que r o percentual mensal de juros (0 r 100) e p o valor da parcela. a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 ms). Calcule o valor presente da mercadoria, , supondo uma taxa de juros de 1% ao ms. b) Imagine que outra mercadoria, de preo 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 ms) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, , e o percentual mnimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar vista.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 6) Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam msicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento apresentado na tabela abaixo. a) Em face dos timos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prmio entre seus clientes. Cada proprietrio de um aparelho da empresa receber um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, no sendo possvel receber uma frao de cupom. Supondo que cada proprietrio adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietrios resgataram seus cupons, calcule o nmero total de cupons e a probabilidade de que o prmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preo superior a R$ 300,00. b) A empresa pretende lanar um novo modelo de aparelho. Aps uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o nmero de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preo do novo modelo esto relacionados pela funo n(p) = 115 0,25p, em que n o nmero de aparelhos (em milhares) e p o preo de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que dada por n p.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 7) Sejam dadas as funese. a) Represente a curva y = f(x) no grfico abaixo, em que o eixo vertical fornece . b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equaes Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.