Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE) Sejamenmeros reais tais queeso solues da equao quadrtica.Ento, um nmero

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)No tringulo ABCexibido na figura a seguir, AD a bissetriz do ngulo interno em 𝐴, e . O ngulo interno em 𝐴 igual a

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)No tringulo ABCexibido na figura a seguir, 𝑀 o ponto mdio do lado AB, e 𝑁 o ponto mdio do lado AC. Se a rea do tringulo MBN igual a 𝑡, ento a rea do tringulo ABC igual a

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)A figura a seguir exibe um pentgono em que quatro lados consecutivos tm comprimentos 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. Se a sequncia (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) uma progresso geomtrica de razo 𝑞 1, ento tan 𝜃 igual a

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)Sabendo que 𝑎 e 𝑏 so nmeros reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, Se a soma dos elementos em cada linha da matriz 𝐴 tem sempre o mesmo valor, ento o determinante de 𝐴 igual a

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)No plano cartesiano, considere a circunferncia de equao e a parbola de equao . Essas duas curvas se interceptam em

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)Sabendo que 𝑎 e 𝑏 so nmeros reais, considere o polinmio cbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑥 + 𝑏. Se a soma e o produto de duas de suas razes so iguais a 1, ento 𝑝(1) igual a

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE)Considere um paraleleppedo retngulo, cujas arestas tm comprimento 6 cm , 8 cme 10 cm 𝑐𝑐, e um tringulo cujos vrtices so os centros (interseco das diagonais) de trs faces de dimenses distintas, como ilustra a figura a seguir. O permetro 𝑃 desse tringulo tal que

(UNICAMP - 2019 - 1 FASE) Largest prime number discovered: with more than 23m digits Known simply as M77232917, the figure is arrived at by calculating two to the power of 77,232,917 and subtracting one, leaving a gargantuan string of 23,249,425 digits. The result is nearly one million digits longer than the previous record holder discovered in January 2016. The number belongs to a rare group of so-called Mersenne prime numbers, named after the 17th century French monk Marin Mersenne. Like any prime number, a Mersenne prime is divisible only by itself and one, but is derived by multiplying twos together over and over before taking away one. The previous record-holding number was the 49th Mersenne prime ever found, making the new one the 50th. Adaptado de Ian Sample, Largest prime number discovered: with more than 23m digits. The Guardian, 04/ 01/2018. Considerando as informaes contidas no excerto anterior, qual dos nmeros a seguir um primo de Mersenne?

(UNICAMP - 2018 - 2 FASE) A tabela abaixo exibe o valor das mensalidades do Ensino Fundamental em trs escolas particulares nos anos de 2017 e 2018. ANO Escola A Escola B Escola C 2017 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.500,00 2018 R$ 1.150,00 R$ 1.320,00 R$ 1.680,00 a) Determine qual escola teve o maior aumento percentual nas mensalidades de 2017 para 2018. b) Uma famlia tem trs filhos matriculados na Escola B. Suponha que essa escola oferea um desconto de 10% na mensalidade para o segundo filho e de 20% para o terceiro filho. Calcule o valor a ser gasto mensalmente com os trs filhos em 2018.

(UNICAMP - 2018 - 2 FASE) Sendo 𝑐 um nmero real, considere a funo afim 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑐, definida para todo nmero real 𝑥. a) Encontre todas as solues da equao [𝑓(𝑥)]3 = 𝑓(𝑥3), para 𝑐 = 1. b) Determine todos os valores de 𝑐 para os quais a funo 𝑔(𝑥) = log(𝑥f(𝑥) + 𝑐) esteja definida para todo nmero real 𝑥.

(UNICAMP - 2018 - 2 FASE) Considere a sequncia de nmeros reais () tal que () uma progresso geomtrica e () uma progresso aritmtica, ambas com a mesma razo . a) Determine a sequncia no caso em que e . b) Determine todas as sequncias tais que e .

(UNICAMP - 2018 - 2 FASE) A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadriltero com vrtices situados nos pontos de coordenadas 𝐴 = (5,0), 𝐵 = (5,0), 𝐶 = (4,3) e 𝐷 = (3,4). a) Determine a rea desse quadriltero. b) Encontre a equao da reta que passa pelo ponto 𝐴 e perpendicular reta que passa pelos pontos 𝐵 e 𝐶.

(UNICAMP - 2018 - 1 FASE)Considere trs nmeros inteiros cuja soma um nmero mpar. Entre esses trs nmeros, a quantidade de nmeros mpares igual a

(UNICAMP - 2018 - 2 FASE) A figura abaixo exibe um tringulo com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e ngulos internos 𝜃, 2𝜃 e 𝛽. a) Supondo que o tringulo seja issceles, determine todos os valores possveis para o ngulo 𝜃. b) Prove que, se 𝑐 = 2𝑎, ento 𝛽 = 90.