Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )As trs razes da equao x3 3x2+ 12x q = 0, onde q um parmetro real, formam uma progresso aritmtica. a) Determine q. b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as razes (reais e complexas) da equao.

(UNICAMP - 2005 - 1a fase) A ANATEL determina que as emissoras de rdio FM utilizem as freqncias de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferena de 0,2 MHz entre emissoras com freqncias vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqncia, associado um canal, que um nmero natural que comea em 200. Desta forma, emissora cuja freqncia de 87,9 MHz corresponde o canal 200; seguinte, cuja freqncia de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se: a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma regio], respeitando-se o intervalo de freqncias permitido pela ANATEL? Qual o nmero do canal com maior freqncia? b) Os canais 200 e 285 so reservados para uso exclusivo das rdios comunitrias. Qual a freqncia do canal 285, supondo que todas as freqncias possveis so utilizadas?

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 1) So conhecidos os valores calricos dos seguintes alimentos: uma fatia de po integral, 55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 200 g de manteiga, 1.400 kcal; 1 kg de queijo, 3.200 kcal; uma banana, 80 kcal. a) Qual o valor calrico de uma refeio composta por duas fatias de po integral, um copo de 200 ml de leite, 10 g de manteiga, 4 fatias de queijo, de 10 g cada uma, e duas bananas ? b) Um copo de leite integral contm 248 mg de clcio, o que representa 31% do valor dirio de clcio recomendado. Qual esse valor recomendado?

(UNICAMP - 2005 - 1a fase) As transmisses de uma determinada emissora de rdio so feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A (0,0), B (100,0), C (60,40) e D (0,40), sendo o quilmetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance mximo de cada antena de 20 km, pergunta-se: a) O ponto mdio do segmento BC recebe as transmisses dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os clculos necessrios. b) Qual a rea da regio limitada pelo quadriltero ABCD que no alcanada pelas transmisses da referida emissora?

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 2) A quantia de R$ 1.280,00 dever ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receber cada uma, se: a) A diviso for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? b) A diviso for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10?

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 3) O custo de uma corrida de txi constitudo por um valor inicial Q0, fixo, mais um valor que varia proporcionalmente distncia D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25. a) Calcule o valor inicial Q0. b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilmetros seu carro percorreu naquele dia?

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 4) Sejam A, B, C e D os vrtices de um quadrado cujos lados medem 10 cm cada. Suponha que a circunferncia C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB. a) Calcule a rea do tringulo cujos vrtices so C, D e M. b) Calcule o raio da circunferncia C.

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 5) Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direes perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos aps a partida, a distncia entre os dois navios era de 15 km e, aps mais 15 minutos, um dos navios estava 4,5 km mais longe do porto que o outro. a) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h? b) Qual a distncia de cada um dos navios at o porto de sada, 270 minutos aps a partida?

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 6) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura. a) Calcule o raio da circunferncia que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB.

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 7) Um capital de R$ 12.000,00 aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que no foram feitas novas aplicaes ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado aps 2 anos. b) O nmero inteiro mnimo de anos necessrios para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. [Se necessrio, use e]

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 8) A funo , com , chamada funo quadrtica. a) Encontre a funo quadrtica cujo grfico passa pelos pontos A(0,2) , B(1,1) e C(1,1). b) Dados os pontos ( , mostre que, se e se os pontos A, B e C no pertencem a uma mesma reta, ento existe uma nica funo quadrtica cujo grfico passa pelos pontos A, B e C.

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 9) Com as letras x, y, z e w podemos formar monmios de grau k, isto , expresses do tipo , onde p, q, r e s so inteiros no-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes igual a zero, dizemos que o monmio formado pelas demais letras. Por exemplo, um monmio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, p = s = 0]. a) Quantos monmios de grau 4 podem ser formados com, no mximo, 4 letras? b) Escolhendo-se ao acaso um desses monmios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente duas das 4 letras?

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 10) Um nmero complexo z = x + iy , z 0 , pode ser escrito na forma trigonomtrica: , onde e . Essa forma de representar os nmeros complexos no-nulos muito conveniente, especialmente para o clculo de potncias inteiras de nmeros complexos, em virtude da frmula de De Moivre: que vlida para todo k Z . Use essas informaes para: a) Calcular b) Sendo , calcular o valor de

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 11) A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases so hexgonos regulares. Os lados dos hexgonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm. a) Calcule o volume do prisma. b) Encontre a rea da seco desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A

(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 12) Para resolver equaes do tipo 1, podemos proceder do seguinte modo: comono uma raiz, divide-se a equao por e, aps fazer a mudana de variveis , resolve-se a equao obtida [na varivel u]. Observe que, se e , ento . a) Ache as 4 razes da equao b) Encontre os valores de b R para os quais a equao 3 tem pelo menos uma raiz real positiva.