Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 7) Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo: a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g. Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela consumidora e resolva-o para determinar esses valores. b) Geralmente, as cebolas so consumidas sem casca. Determine a rea de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esfricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 192 cm2 de rea de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdcio com cascas.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 8) Considere a funo f(x) = 2x + |x + p|, definida para x real. a) A figura ao lado mostra o grfico de f(x) para um valor especfico de p. Determine esse valor. b) Supondo, agora, que p = 3, determine os valores de x que satisfazem a equao f(x) = 12.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 9) Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo com a temperatura de operao e armazenamento da bateria. A funo que fornece o percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, T (em C), tem a forma em que a e b so constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas temperaturas especficas, o percentual de perda de uma determinada bateria de ons de Ltio. Com base na expresso de P(T) e nos dados da tabela, a) esboce, abaixo, a curva que representa a funo P(T), exibindo o percentual exato para T = 0 e T = 55; b) determine as constantes a e b para a bateria em questo. Se necessrio, use log10(2) 0,30,log10(3) 0,48 e log10(5) 0,70. Imagem da folha de respostas.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 10) Seja dada a matriz em que x um nmero real. a) Determine para quais valores de x o determinante de A positivo b) Tomando e supondo que, na matriz A, x = 2, calcule B = AC.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 11) Um crculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = x / 2, conforme mostra a figura abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto de tangncia entre o crculo e a reta y = x / 2. b) Determine a equao da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do crculo.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 12) Um topgrafo deseja calcular a distncia entre pontos situados margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topgrafo determinou as distncias mostradas na figura, bem como os ngulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. a) Calcule a distncia entre A e B. b) Calcule a distncia entre B e D.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 5) Um brilhante um diamante com uma lapidao particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas. a) Em gemologia, um quilate uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a massa especfica do diamante de aproximadamente 3,5 g/cm3, determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate. b) A figura ao lado apresenta a seo transversal de um brilhante. Como muito difcil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproxim-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante. Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a frmula em que R e r so os raios das bases e h a altura do tronco.

(UNICAMP - 2012 - 1 FASE)Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligaes entre as ripas, nos quais os parafusos so representados por crculos brancos. Note que cada ripa est presa cerca por dois parafusos em cada extremidade. Os parafusos usados na cerca so vendidos em caixas com 60 unidades. O nmero mnimo de caixas necessrias para construir uma cerca com 100 m de comprimento

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 2) A planta de um cmodo que tem 2,7 m de altura mostrada ao lado. a) Por norma, em cmodos residenciais com rea superior a 6 m, deve-se instalar uma tomada para cada 5 m ou frao (de 5 m) de permetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o nmero mnimo de tomadas do cmodo representado ao lado e o espaamento entre as tomadas, supondo que elas sero distribudas uniformemente pelo permetro do cmodo. b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lmpada, localizada no centro do teto do cmodo, ao interruptor, situado a 1,0 m do cho, e a 1,0 m do canto do cmodo, como est indicado na figura. Supondo que o fio subir verticalmente pela parede, e desprezando a espessura da parede e do teto, determine o comprimento mnimo de fio necessrio para conectar o interruptor lmpada.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 1) O velocmetro um instrumento que indica a velocidade de um veculo. A figura abaixo mostra o velocmetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocmetro gira no sentido horrio medida que a velocidade aumenta. a) Suponha que o ngulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional velocidade. Nesse caso, qual o ngulo entre a posio atual do ponteiro (0 km/h) e sua posio quando o velocmetro marca 104 km/h? b) Determinado velocmetro fornece corretamente a velocidade do veculo quando ele trafega a 20 km/h, mas indica que o veculo est a 70 km/h quando a velocidade real de 65 km/h. Supondo que o erro de aferio do velocmetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a funo v(x) que representa a velocidade real do veculo quando o velocmetro marca uma velocidade de x km/h.

(UNICAMP -2012 - 1 FASE) A rea do tringulo OAB esboado na figura abaixo

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 3) O nmero ureo uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equao quadrtica obtida a partir de a) Reescreva a equao acima como uma equao quadrtica e determine o nmero ureo. b) A sequncia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... conhecida como sequncia de Fibonacci, cujo n-simo termo definido recursivamente pela frmula Podemos aproximar o nmero ureo, dividindo um termo da sequncia de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10 e o 11 termos dessa sequncia e use-os para obter uma aproximao com uma casa decimal para o nmero ureo.

(UNICAMP -2012 - 1 FASE) Um queijo tem o formato de paraleleppedo, com dimenses 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em trs faces. Nesse caso, o nmero de cubos que possuem casca em apenas uma face igual a

(UNICAMP - 2011)Uma empresa imprime cerca de 12.000 pginas de relatrios por ms, usando uma impressora jato de tinta colorida. Excluindo a amortizao do valor da impressora, o custo de impresso depende do preo do papel e dos cartuchos de tinta. A resma de papel (500 folhas) custa R$ 10,00. J o preo e o rendimento aproximado dos cartuchos de tinta da impressora so dados na tabela abaixo. a) Qual cartucho preto e qual cartucho colorido a empresa deveria usar para o custo por pgina ser o menor possvel? b) Por razes logsticas, a empresa usa apenas cartuchos de alto rendimento (os modelos do tipo AR) e imprime apenas em um lado do papel (ou seja, no h impresso no verso das folhas). Se 20% das pginas dos relatrios so coloridas, quanto a empresa gasta mensalmente com impresso, excluindo a amortizao da impressora? Suponha, para simplificar, que as pginas coloridas consomem apenas o cartucho colorido

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) Acidentes de trnsito causam milhares de mortes todos os anos nas estradas do pas. Pneus desgastados (carecas), freios em pssimas condies e excesso de velocidade so fatores que contribuem para elevar o nmero de acidentes de trnsito. Para trocar os pneus de um carro, preciso ficar atento ao cdigo de trs nmeros que eles tm gravado na lateral. O primeiro desses nmeros fornece a largura (L) do pneu, em milmetros. O segundo corresponde razo entre a altura (H) e a largura (L) do pneu, multiplicada por 100. J o terceiro indica o dimetro interno (A) do pneu, em polegadas. A figura abaixo mostra um corte vertical de uma roda, para que seja possvel a identificao de suas dimenses principais. Suponha que os pneus de um carro tm o cdigo 195/60R15. Sabendo que uma polegada corresponde a 25,4 mm, pode-se concluir que o dimetro externo (D) desses pneus mede