Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Uma forma de apresentar dados usar um grfico de radar. Este tipo de grfico composto por segmentos uniformemente espaados, dispostos em torno de um ponto. Os segmentos representam diferentes valores, valores esses que aumentam conforme a distncia em relao ao centro se torna maior. Grficos de radar so frequentemente usados em jogos eletrnicos para representar o desempenho, em diferentes aspectos, dos personagens. Enzo tem uma livraria e vende obras dos gneros Romance, Fico, Tecnologia, Biografias e Infantil. Ele representou no grfico de radar, a seguir, quantas obras diferentes de cada um desses gneros foram vendidas em 2020 e 2021. Por exemplo, em 2021, foram vendidas 20 obras do gnero Tecnologia. Note que o grfico no indica quantos exemplares de cada obra foram efetivamente vendidos, indica apenas o nmero de obras que tiveram exemplares vendidos para os gneros indicados. Sobre os dados apresentados no grfico, correto afirmar que

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Trs nmeros reais distintos a, b, c so tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progresses aritmticas de mesma razo. O valor do produto abc

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Suponha que uma funo satisfaa propriedade . Sabendo que e , o valor de

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Um recipiente cilndrico de altura h tem gua em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a gua cobre a esfera e nenhuma quantidade de gua se perde, como ilustrado na figura a seguir. Sabendo que o raio da base do cilindro o dobro do raio da esfera, a diferena entre a altura da gua antes e depois do mergulho da esfera igual a

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Leia o texto a seguir para responder s questes 51 e 52. Uma transformao de Mbius um quociente de polinmios de grau 1. Essas transformaes so muito importantes em computao grfica e tambm na rea da engenharia conhecida como processamento de sinais. Considere a funo definida para , , que uma verso simplificada de uma transformao de Mbius. Sobre a funo inversa de , correto afirmar que

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Leia o texto a seguir para responder s questes 51 e 52. Uma transformao de Mbius um quociente de polinmios de grau 1. Essas transformaes so muito importantes em computao grfica e tambm na rea da engenharia conhecida como processamento de sinais. Considere a funo definida para , , que uma verso simplificada de uma transformao de Mbius. Considere a sequncia definida por , e para cada , temos , ou seja, e assim sucessivamente. Ento, a soma dos 100 primeiros termos desta sequncia vale

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Para qual valor de a o sistema de equaes lineares admite infinitas solues?

(UNICAMP - 2023- 1 fase) A figura seguinte mostra um tringulo retngulo ABC. O ponto M o ponto mdio do lado AB, que a hipotenusa. O valor de

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, Joo decidiu comprar todas as cartelas em que a numerao exibisse os nmeros 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, Joo comprou as cartelas 1205 e 0025, mas no comprou as cartelas 0514 e 2000. Considere as afirmaes: I) Joo comprou 108 cartelas. II) Se ao invs das cartelas com 2 e 5, Joo tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas. III) Joo comprou 18 cartelas que possuem o nmero 3. Assinale a alternativa correta:

(UNICAMP - 2023- 1 fase) Na figura abaixo esto representados os grficos de uma parbola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que um dos pontos de interseo da reta com a parbola. O valor de a + b

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) As clulas contm vrias estruturas que sintetizam molculas utilizadas em locais distantes de onde elas foram formadas. Por exemplo, a molcula de adenosina trifosfato (ATP) sintetizada num local especfico da clula e usada em diferentes locais. O mecanismo de transporte molecular mais bsico no mundo celular a difuso, que resulta das colises da molcula sintetizada com as molculas que compem o meio. No movimento de difuso, o deslocamento mdio, L, da molcula sintetizada est relacionado com o tempo, t, da seguinte forma: onde D a constante de difuso da molcula sintetizada num determinado meio a)A relao entre o tempo e o deslocamento quadrtico mdio, , apresentada, para uma molcula de ATP, no grfico acima. Estime a constante de difuso da molcula. b)A membrana plasmtica, composta por uma bicamada de fosfolipdios, representa uma barreira difuso, em especial quando tratamos molculas para as quais a membrana apresenta baixa permeabilidade. Como voc explica a difuso dessas molculas para o interior das clulas? O que necessrio para o movimento de molculas contra um gradiente de concentrao?

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Um fabricante de produtos de beleza est modificando as dimenses da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado 100𝜋olho. Atualmente, as embalagens tm o formato de um paraleleppedo com 18 cm de altura e com base retangular de dimenses 2 cm 3 cm. So utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ 40,00 o metro quadrado, por ser mais resistente. a)Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens? b)Por questes logsticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paraleleppedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumtrica que as embalagens atuais. Quais as dimenses da nova embalagem e o custo de produo de 100 delas, considerando os mesmos materiais para produo?

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Mrcia est fazendo um teste de condicionamento fsico e corre numa pista circular de 200 m de comprimento, com velocidade angular constante, e no sentido anti-horrio. A distncia, em metros, entre Mrcia e um equipamento eletrnico localizado na parte externa da pista foi registrada nos primeiros 60 segundos e est representada na Figura 1 abaixo. a) Determine quanto tempo Mrcia demora para completar uma volta e quantos metros ela percorreu nos primeiros 60 segundos. b) A Figura 2 representa um determinado instante em que a distncia entre Mrcia e o centro da pista (ponto C) igual distncia entre ela e o equipamento eletrnico. Calcule o cosseno do ngulo 𝛼 indicado na Figura 2.

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Helosa est brincando com uma urna que contm dez bolinhas, sendo trs azuis, trs verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequncia numrica , de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequncia . A cada sorteio, um novo termo da sequncia determinado multiplicando-se o termo anterior: por 2, se a bolinha sorteada for azul; por 3, se a bolinha sorteada for verde; por 5, se a bolinha sorteada for rosa. A bolinha sorteada devolvida para a urna antes do prximo sorteio. Por exemplo, se nos trs primeiros sorteios Helosa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, ento a sequncia obtida a) possvel que Helosa obtenha uma sequncia contendo o termo 189? Justifique. b) Qual a probabilidade de Helosa obter o nmero 360 como termo de uma sequncia?

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Por volta de 1845, o matemtico belga Pierre Verhulst comeou a estudar um tipo de funo que hoje conhecida como funo logstica. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicaes em ecologia, biomatemtica, sociologia e cincias polticas. Uma funo logstica pode ser definida por em que e a) Seja a funo inversa de 𝑓. Determine a expresso e o domnio de . b) O grfico abaixo de uma funo logstica com 𝐿 = 10. Determine os valores de e 𝑘.