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(ITA - 2022 - 2ª fase)

Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite não se desintegre por efeitos de maré. Para determinar uma expressão aproximada dessa distância, considera a Lua como a composição de dois semi-satélites esféricos idênticos, homogêneos e em contato. Os corpos descritos realizam um movimento circular ao redor da Terra, cuja massa é dada por \(M_{T}\), com os três centros sempre colineares. A estabilidade da Lua é associada à tendência natural dessas duas metades manterem o contato entre si por efeitos gravitacionais. Considerando que o raio da lua \(R_{L}\) é muito menor do que a distância Terra-Lua \(D\) e que \(M_{T}\) é muito maior que a massa da Lua \(M_{L}\), faça o que se pede.

Caso necessário, use: \((1+x)^{n}\approx 1+nx\), se \(|x| \ll 1\).

(a) Considerando que os semi-satélites têm a mesma densidade da Lua, determine os seus raios \(r\) e massas \(m\). Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado.

(b) Estime o valor mínimo de \(D\) para que a Lua não se desintegre. Deise sua resposta em termos de \(M_{T}\), \(m\) e \(r\).