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FUVEST 2018FUVEST MatemáticaTurma ENEM Kuadro

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Considere as funções \(f:\left [ -\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ]\) e \(g:\left [0,\pi \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ]\) definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1 \(\circ\) f = f \(\circ\) f-1 = id e g-1 \(\circ\) g = g \(\circ\) g-1 = id, em que id é a função identidade. 

a) Para \(0 \leq \alpha \leq 1\), mostre que \(\left ( g \circ f^{-1} \right )(\alpha )=\sqrt{1-\alpha ^{2}}\).

b) Mostre que \(f^{-1}\left ( \frac{1}{2} \right )+g^{-1}\left ( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \right )=\frac{\pi }{4}\).