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Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

Questão
2002Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Sejam A = (0,0), B = (8,0) e C = (1,3) os vrtices de um tringulo e D = (u,v) um ponto do segmento . Sejam E o ponto de interseco de com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseco de com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos x. a) Determine, em funo de u, a rea do quadriltero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a rea do quadriltero AEDF mxima.

Questão
2002Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)As razes do polinmio p(x) = x3- 3x2+ m, onde m um nmero real, esto em progresso aritmtica. Determine a) o valor de m; b) as razes desse polinmio.

Questão
2002Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) So dados, na pgina ao lado, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A vrtice de um paralelogramo ABCD; o lado est na reta s; M o ponto mdio do lado e o ngulo CB tem medida 30. Usando rgua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construo.

Questão
2002Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)O tringulo retngulo ABC , cujos catetos e medem 1 e , respectivamente, dobrado de tal forma que o vrtice C coincida com o ponto D do lado . Seja o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que reto, determine a) o comprimento dos segmentos e ; b) a rea do tringulo CMN .

Questão
2002Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Um bloco retangular (isto , um paraleleppedo reto-retngulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura cm , com de seu volume cheio de gua, est inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ngulo de 30 com o solo (ver seo lateral abaixo). Determine a altura h do nvel da gua em relao ao solo.

Questão
2002Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)Na figura abaixo, as circunferncias C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r tangente a C1 e C2; a reta s passa por O1 e O2 e o ngulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C1 4, o de C2 3 e que , calcule: a) a rea do quadriltero O1QO2P; b) sen , onde = Q2P.

Questão 1
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 1) A diferena entre dois nmeros inteiros positivos 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminudo em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus clculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois nmeros.

Questão 2
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 2) A hipotenusa de um tringulo retngulo est contida na reta r : y = 5x 13 , e um de seus catetos est contido na reta s : y = x 1. Se o vrtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k,5 ) sobre a reta s, determine a) todos os vrtices do tringulo; b) a rea do tringulo.

Questão 3
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 3) a) Calcule em funo de e de . b) Calcule em funo de e de . c) Para , resolva a equao: .

Questão 4
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 4) Na figura ao lado, tm-se um cilindro circular reto, onde A e B so os centros das bases e C um ponto da interseco da superfcie lateral com a base inferior do cilindro. Se D o ponto do segmento , cujas distncias a e so ambas iguais a d, obtenha a razo entre o volume do cilindro e sua rea total (rea lateral somada com as reas das bases), em funo de d.

Questão 5
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 5) Considere dois nmeros reais e tais que e a) Determine uma relao entre e , para que as equaes polinomiais e possuam uma raiz comum. b) Nesse caso, determine a raiz comum

Questão 6
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 6) No plano complexo, cada ponto representa um nmero complexo. Nesse plano, considere o hexgono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginria, como um de seus vrtices. a) Determine os vrtices do hexgono. b) Determine os coeficientes de um polinmio de grau 6, cujas razes sejam os vrtices do hexgono.

Questão 7
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 7) Um agricultor irriga uma de suas plantaes utilizando duas mquinas de irrigao. A primeira irriga uma regio retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma regio compreendida entre duas circunferncias de centro O, e de raios 10 m e 30 m. A posio relativa dessas duas regies dada na figura onde A e B so os pontos mdios das alturas do retngulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O esto alinhados e que BO = 20 , determine a) a rea da interseco das regies irrigadas pelas mquinas; b) a rea total irrigada. Utilize as seguintes aproximaes:

Questão 8
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 8) Um dado, cujas faces esto numeradas de um a seis, dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lanamento. Considere o experimento que consiste em trs lanamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses trs nmeros seja a) par; b) mltiplo de 10.

Questão 9
2001Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 9) Dado um nmero real a, considere o seguinte problema: Achar nmeros reais , no todos nulos, que satisfaam o sistema linear: para , onde . a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem soluo? c) Existe, para algum valor de a, uma soluo do problema com ? Se existir, determine tal soluo.