Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Prolongando-seos lados de um octgono convexo ABCDEFGH, obtm-se um polgono estrelado, conforme a figura. A soma vale

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Admitindo que a linha pontilhada represente o grfico da funo f(x) = sen(x)e que a linha contnua represente o grfico da funo g(x) = sen(x), segue que

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Maria quer comprar uma TV que est sendo vendida por R$ 1.500,00 vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra no suficiente para pagar vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicao financeira que rende 1% ao ms. Aps fazer os clculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguir pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Considere o polinmio em queSabe-se que as suas n razes esto sobre a circunferncia unitria e que. O produto das n razes de P(x), para qualquer inteiro,:

(FUVEST - 2018 - 1a fase) O quadriltero da figura est inscrito em uma circunferncia de raio 1. A diagonal desenhada um dimetro dessa circunferncia. Sendo xe yas medidas dos ngulos indicados na figura, a rea da regio cinza, em funo de xe y,

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilnea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os corredores cruzam-se duas vezes, a primeira vez a 800 metros de A e a segunda vez a 500 metros de B. O comprimento da pista, em metros,

(FUVEST 2017 - 2FASE) Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16cm. Aps remover um quadrado de lado xcm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paraleleppedo reto-retngulo com altura xcm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas. a) Expresse o volume da caixa em funo de x. b) Determine o conjunto dos valores de xpara os quais o volume da caixa maior ou igual a 384cm3.

(FUVEST 2017 - 2FASE) O centro de um disco de raio 1 colocado no ponto C = (0,1)do plano cartesiano 0xy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezvel e comprimento 3 fixada na origem 0e a outra extremidade est inicialmente no ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horrio, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferncia que delimita o disco. A medida do ngulo , em radianos, denotada por . A parte no enrolada do fio um segmento retilneo que tangencia o disco no ponto P. A figura da pgina de respostas ilustra a situao descrita. a) Determine as coordenadas do ponto Qquando o segmento for paralelo ao eixo y. b) Determine as coordenadas do ponto Qquando o segmento for paralelo reta de equao y = x. c) Encontre uma expresso para as coordenadas do ponto Qem funo de , para no intervalo.

(FUVEST 2017 - 2FASE) Um quadriculado formado por n x nquadrados iguais, conforme ilustrado para n = 2 e n = 3. Cada um desses quadrados ser pintado de azul ou de branco. Dizemos que dois quadrados Q1e Q2do quadriculado esto conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possvel, por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes, sair de Q1e chegar a Q2passando apenas por quadrados pintados de azul. a) Se n = 2, de quantas maneiras distintas ser possvel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2do canto superior direito? b) Suponha que n = 3e que o quadrado central esteja pintado de branco. De quantas maneiras distintas ser possvel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito? c) Suponha que n = 3. De quantas maneiras distintas ser possvel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito?

(FUVEST 2017 - 2 FASE) Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6cm. Os pontos E,F,G,H e Iso os pontos mdios das arestas , respectivamente a) Determine a rea do tringulo  EFH. b) Calcule a rea do quadriltero EGIH. c) Determine o volume da pirmide de vrtices E,G,I,H e F cuja base o quadriltero EGIH.

(FUVEST 2017 - 2 FASE) Considere a funo fa: [0,1] [0,1]que depende de um parmetro a ]1,2] , dada por Sabe-se que existe um nico ponto pa tal que fa(pa) = pa. Na figura a seguir, esto esboados o grfico de fa e a reta de equao y = x. a) Encontre uma expresso para o ponto paem funo de a. b) Mostre que fa(fa(1/2)) 1/2para todo a]1,2]. c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a]1,2] tal que fa(fa(fa(1/2))) = pa, em que pa o ponto encontrado no item a)

(FUVEST - 2017 - 2 FASE) A aorta da baleia de dimetro maior do que o cano principal do sistema hidrulico da Torre de Londres, e a gua que passa por ali tem menos mpeto e velocidade do que o sangue que jorra do seu corao. Herman Melville, Moby Dick. a) Calcule a vazo (volume/unidade de tempo) em cada um dos sistemas esquematizados a seguir. b) A figura representa a presso do sangue em seu percurso ao longo do sistema circulatrio da baleia. As letras A, B, C, D e E correspondem a diferentes vasos sanguneos. Quais so as letras que correspondem, respectivamente, aorta e s grandes veias?

(FUVEST 2017 - 2 FASE) Um analgsico aplicado via intravenosa. Sua concentrao no sangue, at atingir a concentrao nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relao: em que t dado em horas e c(t) dado em mg/L. As constantes ae kso positivas. a) Qual a concentrao do analgsico no instante inicial t = 0? b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t = 2, a concentrao do analgsico no sangue metade da concentrao no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentrao do analgsico no sangue nula.

(FUVEST - 2017 - 2 FASE) Um caminho deve transportar, em uma nica viagem, dois materiais diferentes, e , cujos volumes em m3 so denotados por e , respectivamente. Sabe-se que todo o material transportado ser vendido. A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na venda de cada um deles so dados na tabela a seguir. Para realizar esse transporte, as seguintes restries so impostas: I. o volume total mximo de material transportado deve ser de 50 m3 ; II. a massa total mxima de material transportado deve ser de 10 toneladas. Considerando essas restries: a) esboce, no plano cartesiano preparado na pgina de respostas, a regio correspondente aos pares de volumes dos materiais e que podem ser transportados pelo caminho; b) supondo que a quantidade transportada do material Yseja exatamente 10m3, determine a quantidade de material que deve ser transportada para que o lucro total seja mximo; c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36 m3 , determine o par que maximiza o lucro total.

(Fuvest 2017 - 2 fase - 2 dia) Um balo sobe verticalmente com acelerao constante de 2 m/s2 a partir de um ponto localizado no solo a 36 m de um observador , que permanece em repouso no solo. A medida em radianos do ngulo de elevao do balo em relao ao observador no instante denotada por . Sabe-se que a massa do balo de 90 kg. a) Supondo que as foras que determinam o movimento do balo sejam o seu peso e o empuxo, calcule o volume do balo. b)Suponha que, no instante , o balo se encontre no ponto e que sua velocidade seja nula. Determine a velocidade mdia do balo entre o instante em que  e o instante em que . Adote: Acelerao da gravidade: 10 m/s2 Densidade do ar: 1,2 kg/m3.