Questões de Matemática - IME

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Questão 1
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Sejam e raízes da equação , e raízes da equação . Sabendo-se que e formam uma progressão geométrica crescente, determine o valor de .

Questão 1
2020FísicaMatemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de e de são, respectivamente: Cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto

Questão 2
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:

Questão 2
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Seja uma região no plano complexo que consiste em todos os pontos tais que e possuem partes real e imaginária entre 0 e 1, inclusive. Determine a área da região . Obs: é o conjugado do número complexo .

Questão 3
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Os modelos de placas de identificação de automóveis adotadas no Brasil estão sendo atualizados. Atualmente, o modelo antigo (três letras seguidas de quatro algarismos) está sendo gradativamente substituído pelo modelo novo (três letras seguidas de um algarismo, uma letra e dois algarismos). Placas de modelos distintos podem apresentar sequências de caracteres alfanuméricos iguais. Por exemplo, a sequência de caracteres 20 aparece nas combinações e , enquanto a sequência A12 aparece nas combinações e . Considere a placa do modelo antigo IME2019. Seja o conjunto de placas do modelo novo que podem ser formadas com alguma sequência de três caracteres em comum com a placa IME2019. Determine o número de elementos de . Por exemplo, e pertencem ao conjunto . não pertence ao conjunto . Obs: considere o alfabeto com 26 letras.

Questão 3
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Considere os conjuntos e . Seja o conjunto de funções cujo domínio é e cujo contradomínio é . Escolhendo-se ao acaso uma função de , a probabilidade de ser estritamente crescente ou ser injetora é:

Questão 4
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Em um jogo, João e Maria possuem cada um três dados não viciados com seis faces numeradas de 1 a 6. Cada um lançará os seus dados, sendo João o primeiro a lançar. O vencedor será aquele que obtiver o maior número de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencerá aquele que tiver o maior número nos dados de igual resultado. Se ainda houver empate, não haverá vencedor. Suponha que João obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual é a probabilidade de Maria vencer o jogo?

Questão 4
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo. O valor de S é:

Questão 5
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Uma matriz é semelhante a uma matriz se e somente se existe uma matriz invertível tal que a) Se e forem semelhantes, mostre que . b) Dadas e , verifique se essas matrizes são semelhantes.

Questão 5
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Seja onde é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo conjunto é:

Questão 6
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Sabendo que, encontre todos os valores reais de x que satisfazem a seguinte inequação: ondeé a parte real do número complexo Z.

Questão 6
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Um polinômio de grau maior que 3 quando dividido por e deixa restos e , respectivamente. O resto da divisão de por é:

Questão 7
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 2 fase] Seja Determine b, onde b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos.

Questão 7
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das faces é:

Questão 8
2020Matemática

[IME-2019/2020 - 1 fase] Uma progressão geométrica é formada com os números naturais e , nessa ordem. O possui a mesma mantissa, , do e é a característica do . Sabe-se que e que possui o maior valor possível. O valor da mantissa do é:

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