Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Os modelos de placas de identificao de automveis adotadas no Brasil esto sendo atualizados. Atualmente, o modelo antigo (trs letras seguidas de quatro algarismos) est sendo gradativamente substitudo pelo modelo novo (trs letras seguidas de um algarismo, uma letra e dois algarismos). Placas de modelos distintos podem apresentar sequncias de caracteres alfanumricos iguais. Por exemplo, a sequncia de caracteres 20 aparece nas combinaes e , enquanto a sequncia A12 aparece nas combinaes e . Considere a placa do modelo antigo IME2019. Seja o conjunto de placas do modelo novo que podem ser formadas com alguma sequncia de trs caracteres em comum com a placa IME2019. Determine o nmero de elementos de . Por exemplo, e pertencem ao conjunto . no pertence ao conjunto . Obs: considere o alfabeto com 26 letras.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Considere os conjuntos e . Seja o conjunto de funes cujo domnio e cujo contradomnio . Escolhendo-se ao acaso uma funo de , a probabilidade de ser estritamente crescente ou ser injetora :

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z so solues inteiras do sistema abaixo. O valor de S :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Em um jogo, Joo e Maria possuem cada um trs dados no viciados com seis faces numeradas de 1 a 6. Cada um lanar os seus dados, sendo Joo o primeiro a lanar. O vencedor ser aquele que obtiver o maior nmero de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencer aquele que tiver o maior nmero nos dados de igual resultado. Se ainda houver empate, no haver vencedor. Suponha que Joo obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual a probabilidade de Maria vencer o jogo?

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Seja onde o conjunto dos nmeros complexos. O valor do produto entre o simtrico do complexo de menor mdulo do conjunto e o conjugado do complexo de maior mdulo do mesmo conjunto :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Uma matriz semelhante a uma matriz se e somente se existe uma matriz invertvel tal que a) Se e forem semelhantes, mostre que . b) Dadas e , verifique se essas matrizes so semelhantes.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Um polinmio de grau maior que 3 quando dividido por e deixa restos e , respectivamente. O resto da diviso de por :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Sabendo que, encontre todos os valores reais de x que satisfazem a seguinte inequao: onde a parte real do nmero complexo Z.

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Seja Determine b, onde b pertence ao conjunto dos nmeros inteiros no nulos.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Um inteiro positivo escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vrtice, calculado o produto dos nmeros escritos nas trs faces adjacentes. Se a soma desses produtos 1105, a soma dos seis nmeros das faces :

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Uma progresso geomtrica formada com os nmeros naturais e , nessa ordem. O possui a mesma mantissa, , do e a caracterstica do . Sabe-se que e que possui o maior valor possvel. O valor da mantissa do :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Os pontos A (5,0) e B (5,0) definem um dos lados do tringulo ABC. A bissetriz interna do ngulo correspondente ao vrtice C paralela reta de equao 14x 2y + 1 = 0. Determine o valor da excentricidade do lugar geomtrico definido pelo vrtice C deste tringulo.

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Sobre uma reta r so marcados trs pontos distintos A, B e C, sendo que C um ponto externo ao segmento de reta 𝐴𝐵. Determine o lugar geomtrico das intersees das retas tangentes a partir de A e B a qualquer circunferncia tangente reta r no ponto C. Justifique sua resposta.

(IME - 2019/2020) Diversos modelos de placas de identificao de veculos j foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrio de sua composio alfanumrica: Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de trs nmeros) Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro nmeros) Modelo 3: ABC1234 (trs letras seguidas de quatro nmeros) Modelo 4: ABC1D23 (trs letras seguidas de um nmero, uma letra e dois nmeros). Sejam as quantidades das combinaes alfanumricas possveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os nmeros so termos de uma progresso aritmtica com infinitos termos com a maior razo possvel. A soma dos algarismos da razo dessa progresso :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Um determinado material radioativo, com volume inicial, manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resduo impuro da substncia descartado, atravs de uma ligao por um pequeno orifcio, num invlucro lacrado em formato de paraleleppedo retngulo. No primeiro dia, a quantidadedescartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidadedescartada no n-simo dia dada pela relao:para n 2Determine as dimenses do invlucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricao seja mnimo (isto , a superfcie lateral tenha rea mnima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.