Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

[IME- 2010/2011 - 1fase]A base de uma pirmide um retngulo de rea S. Sabe-se que duas de suas faces laterais so perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ngulos de 30 e 60 com a base. O volume da pirmide :

[IME- 2010/2011- 2fase] Sejam,onde i a unidade imaginria, e z um nmero complexo tal que,determine o mdulo do nmero complexo (z 7 9i). Obs.: arg(w) o argumento do nmero complexo w.

[IME- 2010/2011 - 1fase] Sejam , ..., os n primeiros termos de uma progresso aritmtica. O primeiro termo e a razo desta progresso so os nmeros reais e r, respectivamente. O determinante

[IME- 2010/2011- 2fase] Os nmeros m, 22.680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma progresso geomtrica crescente com razo dada por q. Sabe-se que: existem, pelo menos, dois elementos entre m e 22.680; n o sexto termo dessa progresso geomtrica; n 180.000. Determine os possveis valores de m e n, sabendo que m, n e q so nmeros naturais positivos .

[IME- 2010/2011- 2fase] Seja ABC um tringulo onde , e so os ngulos internos dos vrtices A,B e C, respectivamente. Esse tringulo est inscrito em um crculo de raio unitrio. As bissetrizes internas desses ngulos interceptam esse crculo nos pontos , respectivamente. Determine o valor da expresso

[IME- 2010/2011 - 1a fase]Uma reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,1). Uma outra reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,1). Sabe-se que . O lugar geomtrico percorrido pelo ponto de interseo das duas retas uma:

[IME- 2010/2011- 2fase] Resolva a equaoonde z pertence ao conjunto dos nmeros complexos.

[IME- 2010/2011 - 1a fase]O valor de y real positivo na equao , onde x um nmero real maior do que 1 :

[IME- 2010/2011 - 1a fase]O pipoqueiro cobra o valor de R$ 1,00 por saco de pipoca. Ele comea seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro tm uma moeda de R$ 1,00 e quatro uma nota de R$ 2,00. Supondo uma arrumao aleatria para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprar exatamente um saco de pipoca, a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagaro com a nota de R$ 2,00 :

[IME- 2010/2011- 2fase] Seja x um nmero inteiro positivo menor ou igual a 20.000. Sabe-se que divisvel por 7. Determine o nmero de possveis valores de x.

[IME- 2010/2011 - 1a fase]O valor de :

[IME- 2010/2011- 2fase] Uma pessoa lana um dado n vezes. Determine, em funo de n, a probabilidade de que a sequncia de resultados obtidos pelos lanamentos dos dados se inicie por 4 e que, em todos eles, a partir do segundo, o resultado seja maior ou igual ao lanamento anterior.

[IME- 2010/2011- 2fase] Sejam o polinmioe os conjuntos A = { p(k) / k IN e k 1999},B = { r+ 1 / r IN} eC = { q+ 2 / q IN}. Sabe-se que y = n(AB) n(AC), onde n(E) o nmero de elementos do conjunto E. Determine o valor de y. Obs.: IN o conjunto dos nmeros naturais.

[IME- 2010/2011 - 1a fase]Em relao teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C ento A C. II. Se A B e B C ento A C. III. Se A B e B C ento A C. Esto corretas:

[IME- 2010/2011- 2fase] Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos valores de a, b e c, pertencentes ao conjunto dos nmeros reais, que satisfazem a equao a+ b+ c= 4.