Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2009/2010) Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor?

(IME - 2008/2009) Sabe-se que: , onde [a] a parte inteira de a Determine o valor de x-y+z

(IME - 2008/2009)Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operao ∆, definida por X ∆ Y = (X Y) U (Y X). Pode-se afirmar que

(IME - 2008/2009)Seja e um nmero complexo onde e so, respectivamente, o mdulo e o argumento de z e i a unidade imaginria. Sabe-se que = 2acos , onde a uma constante real positiva. A representao de z no plano complexo

(IME - 2008/2009) Um tringulo issceles possui seus vrtices da base sobre o eixo das abscissas e o terceiro vrtice, B , sobre o eixo positivo das ordenadas. Sabe-se que a base mede b e seu ngulo oposto o Considere o lugar geomtrico dos pontos cujo quadrado da distncia reta suporte da base do tringulo igual ao produto das distncias as outras duas retas que suportam os dois outros lados. Determine a(s) equao(es) do lugar geomtrico e identifique a(s) curva(s) descrita(s).

(IME - 2008/2009) Seja A uma matriz quadrada inversvel de ordem 4 tal que o resultado da soma (A4 + 3 A3 ) uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A

(IME - 2008/2009) Sabe-se queesendo z1, z2, z3, e z4nmeros complexos diferentes de zero. Prove que z1 ez2so ortogonais. Obs.: nmeros complexos ortogonais so aqueles cujas representaes grficas so perpendiculares entre si e o nmero complexo conjugado de z.

(IME - 2008/2009) Seja log 5 = m, log 2 = p e. O valor de, em funo de m e p,

(IME - 2008/2009) Dada a funo, com as seguintes caractersticas: F(0,0) = 1; F(n,m+1) = q.F(n,m), onde q um nmero real diferente de zero; F(n+1, 0) = r + F(n,0), onde r um nmero real diferente de zero. Determine o valor de

(IME - 2008/2009) Sabe-se que,. Uma outra expresso para y

(IME - 2008/2009)Seja G o ponto de interseo das medianas de um tringulo ABC com rea S. Considere os pontos A, B e C obtidos por uma rotao de 180 dos pontos A, B e C, respectivamente, em torno de G. Determine, em funo de S, a rea formada pela unio das regies delimitadas pelos tringulos ABC e ABC.

(IME - 2008/2009)Resolva a seguinte inequao, para 0 x 2 :

(IME - 2008/2009)Um tringulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que e so, respectivamente, os ngulos opostos aos lado b e c, o valor de

(IME - 2008/2009) Os centros das faces de um tetraedro regular so os vrtices de um tetraedro interno. Se a razo entre os volumes dos tetraedros interno e original vale , onde m e n so inteiros positivos primos entre si, o valor de m + n

(IME - 2008/2009)Seja um cubo de base ABCD com aresta a. No interior do cubo, sobre a diagonal principal, marca-se o ponto V, formando-se a pirmide VABCD. Determine os possveis valores da altura da pirmide VABCD, em funo de a, sabendo que a soma dos quadrados das arestas laterais da pirmide igual a ka2 , sendo k um nmero primo. Obs.: as arestas laterais da pirmide so VA, VB, VC e VD.