Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

[IME - 2020/2021 - 2 fase] Considere as retas que contm o ponto C(3,3) e interceptam os eixos coordenados x e y nos pontos A e B, respectivamente. O ponto P pertence reta AB e sua distncia do ponto A a tera parte do comprimento do segmento AB. Identifique o lugar geomtrico do ponto P e escreva a sua equao.

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) Sejauma funo ondee que satisfaz a equaoO valor de:

[IME - 2020/2021 - 2 fase] Sejam os pontos,epertencentes, respectivamente, aos lados,edo tringulo, tais que,e. Sendo,e, calcule. Observao: a rea do tringulo .

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) H um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma nica partida. No ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados so independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio Jos vence Maria. Se a probabilidade de Jos chegar frente de Maria ao final do torneio , compeqprimos entre si, o valor de p + q :

[IME - 2020/2021 - 2 fase] Um paraleleppedo oblquo ABCD - EFGHpossui todas as arestas com comprimento. O plano que contm ABFE forma um ngulo de 60 com o plano que contm ABCD. O ngulo do vrtice E da face ABFE 120. Sefor o ngulo do vrtice E do paralelogramo contido na base superior EFGH do paraleleppedo, determine o volume do paraleleppedo em funo da arestae do ngulo.

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) Seja a equao Para cada uma das razes reais no nulas dessa equao, constri-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao mdulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) Considere o sistema de equaes: ondeeso variveis e uma constante numrica real. Esse sistema ter soluo se:

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) No que diz respeito posio relativa das circunferncias representadas pelas equaes pode-se afirmar que elas so:

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) Seja a equaoO menor valor deque raiz da equao :

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) Considere um trapzio de bases AB e CD, com o ponto I sendo a interseo de suas diagonais. Se as reas dos tringulosAIB e CID formados pelas diagonais so 9cm2 e 16 cm2, respectivamente, a rea do trapzio, em cm2, :

(IME - 2020/2021 - 1 FASE) Um copo extico de vidro, em uma festa, era uma pirmide invertida de base pentagonal regula de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabea para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relao base pentagonal satisfaz:

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Sejam e razes da equao , e razes da equao . Sabendo-se que e formam uma progresso geomtrica crescente, determine o valor de .

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros nmeros naturais maiores que zero. Considere que zeros esquerda so omitidos. Seja o conjunto de nmeros cuja representao na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e o conjunto de nmeros cuja representao na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de e de so, respectivamente: Cardinalidade de um conjunto finito o nmero de elementos distintos desse conjunto

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Seja uma regio no plano complexo que consiste em todos os pontos tais que e possuem partes real e imaginria entre 0 e 1, inclusive. Determine a rea da regio . Obs: o conjugado do nmero complexo .

(IME - 2019/2020) O menor nmero natural mpar que possui o mesmo nmero de divisores que 1800 est no intervalo: