Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2005/2006 - 2 FASE) Considere o polinmio: x5- 3x4- 3x3+ 27x2- 44x + 30 Sabendo que o produto de duas razes de suas razes complexas igual a 3 - i e que as partes reais e imaginrias de todas as suas razes complexas so inteiras e no-nulas, calcule todas as razes do polinmio.

(IME - 2005/2006 - 2 FASE) Considere os pontos A(1,0) e B(2,0) e seja C uma circunferncia de raio R tangente ao eixo das abscissas na origem. A reta r1 tangente a C e contm o ponto A e a reta r2 tambm tangente a C e contm o ponto B. Sabendo que a origem no pertence s retas r1 e r2 , determine a equao do lugar geomtrico descrito pelo ponto de interseo de r1 e r2 ao se variar R no intervalo

(IME - 2004/2005- 2 FASE )Considere uma elipse de focosF e F e M, um ponto qualquer dessa curva. Traam-se por M duas secantes MF e MF, que interceptam a elipse em P e P, respectivamente. Demonstre que a soma (MF/FP) + (MF/FP) constante. Dica: Calcule inicialmente (1/MF) + (1/FP).

Considereos pontos P e Q sobre faces adjacentes de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância entre P e Q, cruzando a aresta BC em M e a aresta CD em N, conforme ilustrado na figura. É dado que os pontos P, Q, M e N são coplanares. a) Demonstre que MN é perpendicular a AC. b) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que contém P, Q e M em função de BC = a e BM = b.

(IME - 2005/2006)Sejam a, b e c as razes do polinmios p(x) = x3+ rx - t, em que r e t so nmeros no nulos. Determine o valor de a3+ b3+ c3em funo de r e t. Demonstre queSn+1+ rSn-1- tSn-2= 0 para todo nmero natural n maior que ou igual a 2, em que Sk= ak+ bk+ ck, para qualquer nmero natural k.

(IME - 2005) Resolva a equao:

[IME - 2005/2006 - 2a fase]Considereum tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em funo de a, calcule a) o volume total da esfera; b) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro.

(IME 2007) Resolva a equao:

(IME) Resolva a equao a seguir, sabendo que .

Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratirz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4.

(IME - 2003) Seja P um ponto no interior de um tringulo ABC, dividindo-se em seis tringulos, quatro dos quais tm reas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a rea do tringulo ABC.

Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo de módulo unitário, determine um conjunto de valores para a, b, c, z de forma que eles satisfaçam a igualdade:

. (IME/01) Um comandante de companhia convocou voluntrios para a constituio de 11 patrulhas. Todas elas so formadas pelo mesmo nmero de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tm somente um homem em comum. Determine o nmero de voluntrios e o de integrantes de uma patrulha.

(IME/93) Numa escola h15 comisses, todas com igual nmero de alunos. Cada aluno pertence a duas comisses e cada duas comisses possui exatamente um membro em comum. Todos os alunos participam. a) Quantos alunos tem a escola? b) Quantos alunos participam de cada comisses?

(Questo adaptada) O determinante de : , vale: