Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Considere o sistema a seguir Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema inderteminado. Para esse valor de k, encontre a soluo x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de

(IME - 2021/2022) Seja o nmero complexo. Sabe-se que. O valor dena expresso:

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Determine o subconjunto deque corresponde soluo da equao:

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos nmeros a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i a unidade imaginria tal que i2= -1. O ponto a a rotao de 30 do ponto b em torno da origem no sentido anti-horrio. Determine o valor do produto xy.

(IME - 2021/2022) Seja a equao do terceiro grau em: ondeso nmeros primos menores que 100. Para que a razo entra a soma e o produto das razes da equao seja a maior possvel, o valor dedeve ser:

(IME - 2021/2022) Os valores para setso escolhidos no intervalo (0,r), tais ques + t r. Considere trs segmentos de reta com comprimentoss,ter-s - t. Qual a probabilidade desses segmentos formarem um tringulo?

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em trs grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma h um casal, qual a probabilidade de que o mesmo faa o trabalho junto?

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Sabendo-se quecom,e, determineem funo deesomente.

(IME - 2021/2022) Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operao de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operao, em cada quadrado remanescente, obtem-se a Figura C. Qual ser a rea remanescente, a partir do quadrado da Figura A, ao final de 10 operaes?

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Seja um tringulo acutnguloondeeso as alturas dos vrticese, respectivamente, e. Sabendo-se quee, calcule. Dados: ,eso nmeros naturais; eso primos entre si; e o menor possvel.

(IME - 2021/2022) Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades est incorreta?

(IME - 2021/2022) Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j com i, j{1, 2, ... , 2021}. O valor do determinante de A :

(IME - 2021/2022) Para cada nmero n natural, seja a funo realdefinida para cada, tal que,de forma que: A funo g(x) que atende

(IME - 2021/2022) Considere o ponto A(-4,2) e B um ponto varivel sobre eixo das ordenadas. Traam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equao do lugar geomtrico do ponto de interseo da perpendicular ao eixo das abcissas traada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas traada por B. A equao desse lugar geomtrico :

(IME - 2021/2022) Considere os tringulosem quee. O maior valor possvel para a altura relativa ao lato: