Questões de Matemática - ITA | Gabarito e resoluções

(ITA - 2009- 2 fase) Sejam . Mostre as propriedades abaixo: a) Se AX a matriz coluna nula, para todo , ento A a matriz nula. b) Se A e B so no nulas e tais que AB a matriz nula, ento det A = detB = 0.

[ITA - 1 FASE -2009] Considere as funes f(x) = x4 + 2x3 2x 1 e g(x) = x2 2x + 1. A multiplicidade das razes no reais da funo composta f g igual a

(ITA - 2009- 2 fase) Sabendo quepara algum ,determine sen x.

[ITA - 1 FASE -2009] Suponha que os coeficientes reais a e b da equao x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 so tais que a equao admite soluo no real r com .Das seguintes afirmaes: I. A equao admite quatro razes distintas, sendo todas no reais. II. As razes podem ser duplas. III. Das quatro razes, duas podem ser reais. (so) verdadeira( s )

[ITA - 1 FASE -2009] Se as solues da equao algbrica 2x3 ax2 + bx + 54 = 0, com coeficientes a, b IR, b 0, formam, numa determinada ordem, uma progresso geomtrica, ento, igual a

[ITA - 1 FASE -2009] Dados A M3x2 (IR) e b M3x1 (IR), dizemos que X0 M2x1 (IR) a melhor aproximao quadrtica do sistema AX = b quando assume o menor valor possvel. Ento, dado o sistema a sua melhor aproximao quadrtica

(ITA - 2009- 2 fase) Considere as n retas , em que os coeficientes , em ordem crescente de i, formam uma progresso aritmtica de razoq 0.Se e a reta tangencia a circunferncia de equao x + y= 25, determine o valor de q:

[ITA - 1 FASE -2009] O sistema , a1, a2, b1, b2, c1, c2 IR, com (c1, c2) (0, 0), a1c1 + a2c2 = b1c1 + b2c2 = 0,

(ITA - 2009- 2 fase) A razo entre a rea lateral e a rea da base octogonal de uma pirmide regular igual a.Exprima o volume desta pirmide em termos da medida a do aptema da base.

[ITA - 1 FASE -2009] Seja A M2x2 (IR) uma matriz simtrica e no nula, cujos elementos so tais que a11, a12 e a22 formam, nesta ordem, uma progresso geomtrica de razo q 1 e tr A = 5a11. Sabendo-se que o sistema AX = X admite soluo no nula X M2x1 (IR), pode-se afirmar que a112 + q2 igual a

[ITA - 1 FASE -2009] Um certo exame de ingls utilizado para classificar a proficincia de estrangeiros nesta lngua. Dos estrangeiros que so proficientes em ingls, 75% so bem avaliados neste exame. Entre os no proficientes em ingls, 7% so eventualmente bem avaliados. Considere uma amostra de estrangeiros em que 18% so proficientes em ingls. Um estrangeiro, escolhido desta amostra ao acaso, realizou o exame sendo classificado como proficiente em ingls. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta lngua de aproximadamente

[ITA - 1 FASE -2009] Considere o tringulo ABC de lados, e e ngulos internos , e . Sabendo-se que a equao x2- 2bx cos + b2- a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

[ITA - 1 FASE -2009] No plano, considere o lugar geomtrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distncias reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) igual a 4. Ento,

[ITA - 1 FASE -2009] Do tringulo de vrtices A, B e C, inscrito em uma circunferncia de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado mede 2 cm e o ngulo interno mede 30. Ento, o raio da circunferncia inscrita neste tringulo tem o comprimento, em cm, igual a

[ITA - 1 FASE -2009] A distncia entre o vrtice e o foco da parbola de equao 2x2 4x 4y + 3 = 0 igual a