Questões de Matemática - ITA | Gabarito e resoluções

(ITA - 2004 - 2 FASE )Para b 1 e x 0, resolva a equao em x:

(ITA - 2004 - 2 FASE )Considere a equao , em que d uma constante real. Para qual valor de a equao admite uma raiz dupla no intervalo ?

(ITA - 2004 - 2 FASE )Prove que, se os ngulos internos , e de um tringulo satisfazem a equao sen(3_ + sen(3 ) + sen(3 ) = 0 , ento, pelo menos, um dos trs ngulos , ou igual a 60.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Se A uma matriz real, considere as definies: I. Uma matriz quadrada A ortogonal se e s se A for inversvel e II. Uma matriz quadrada A diagonal se e s se aij = 0, para todo i, j = 1, ..., n, com i j. Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que so, simultaneamente, diagonais e ortogonais.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ngulo de 60. Seja C1 uma circunferncia de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r. Determine o raio da menor circunferncia tangente C1 e reta r, cujo centro tambm se situa na reta s.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: (3, 5 + ). a) Determine a equao da circunferncia C, cujo centro est situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e tangente ao eixo y. b) Determine as equaes das retas tangentes circunferncia C que passam pelo ponto P.

(ITA 2004) Sejam dados os pontos A(2,0), B(4,0) e P(3; 5 + 22) a) Determine o centro e o raio da circunferncia que passa por A e B, tangente ao eixo y sendo seu centro localizado no primeiro quadrante b) Obtenha a equao das retas tangentes a essa circunferncia que passam por P

(ITA2004) Seja o conjunto ,sobre o qual so feitas as seguintes afirmaes: e Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s) apenas:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere os contradomnios das funes arco-seno e arco-cosseno como sendoe respectivamente.Com respeito funo, f(x) = arcsen x + arccos x, temos que:

(ITA - 2003 - 2 FASE)Sejam U um conjunto no-vazio e , . Usando apenas as definies de igualdade, reunio, interseco e complementar, prove que: I. Se= , ento. II. B \ AC = .

(ITA - 2003- 2 FASE) Determine o conjunto dos nmeros complexos z para os quais o nmeros w pertence ao conjunto dos reais. Interprete o conjunto geometricamente. .

(ITA - 2003 - 2 FASE)Considere a seguinte situao baseada num dos paradoxos de Zeno de Elia, filsofo grego do sculo V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes vA e vT, com 0 vT vA. Como a tartaruga mais lenta, -lhe dada uma vantagem inicial, de modo a comear a corrida no instante t= 0 a uma distncia d1 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos t1, t2, t3,... que Aquiles precisa para percorrer as distncias d1, d2, d3,..., respectivamente, sendo que, para todo n 2, dn denota a distncia entre a tartaruga e Aquiles no instante da corrida. Verifique que os termos tk , k = 1, 2, 3,..., formam uma progresso geomtrica infinita, determine sua soma e d o significado desta soma.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Mostre que toda funo f : \ {0} , satisfazendo f (xy) = f(x) + f (y) em todo seu domnio, par.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Sejam , , e constantes reais. Sabendo que a diviso de por exata, e que a diviso de por tem resto igual a 5, determine o valor de .

(ITA - 2003 - 2 FASE) Sejam a, b, c e d nmeros reais no-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz na forma de um produto de nmeros reais.